2012年4月27日金曜日

Jacobsthal和(4)...合同ゼータ函数:mod 4で1の素数は2平方数の和

2012年4月25日水曜日の「Jacobsthal和(3):mod 4で1の素数は2平方数の和」の記号を使って,有限体上の楕円曲線の,有限体の拡大体での有理点の個数を勘定する: \[ \# E(\mathbf{F}_{q^n}) = \deg(1-\varphi^n) = \det(I-\varphi^n) = 1-\alpha^n-\beta^n+q^n. \] (detと書いているのは$\ell$進Tate加群上の線形変換として.また冪の計算は,Jordan標準形(三角行列)に移って計算すれば良い).

さて,有限体$\mathbf{F}_q$上定義された代数曲線$C$の合同ゼータ函数$Z(C/\mathbf{F}_q;\,T)$の話の定義を思い出す: \[ Z(C/\mathbf{F}_q;\, T) = \exp\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\#C(\mathbf{F}_{q^n})}{n}T^n\right), \] 但し,$\mathbf{F}_{q^n}$は$q^n$元体.これを有限体上の楕円曲線に適用して上の計算結果を使うと, \[ Z(E/\mathbf{F}_q;\, T) = \frac{1-aT+qT^2}{(1-T)(1-qT)}, \quad a = \alpha + \beta. \] また$|\alpha|=|\beta|=\sqrt{q}$も分かっている.この結果から,函数等式$Z(E/\mathbf{F}_q;\,1/qT) = Z(E/\mathbf{F}_q;\,T)$も分かる.すると$\zeta(E/\mathbf{F}_q;\, s) := Z(E/\mathbf{F}_q;\, q^{-s})$とおくと \[ \zeta(E/\mathbf{F}_q;\, 1-s) = \zeta(E/\mathbf{F}_q;\, s) \] という函数等式がえられる.また,$|\alpha|=|\beta|=q^{1/2}$が曲線の合同ゼータ函数のRiemann予想の最初に示された場合であった.

つまり,Jacobsthal和は,$E\colon y^2=x^3+Dx$の時の,合同ゼータ函数の分子に表れる$a$を与えている.

以上の準備のもとで,次はHasse-Weil $L$函数とmodularity予想(志村・谷山予想)のお話をしたい.参考文献は前回同様,J. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves (Graduate Texts in Mahtematics)のV章.

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