Jacobsthal和(2)：mod 4で1の素数は2平方数の和

昨日の，Jacobsthal和を使った2平方数和定理の証明をもう一つ，こちらはJacobsthalの学位論文の記述に近いものである．$p$を奇素数，$A$を$p$で割り切れない整数とする： \[ \phi(A)=\sum_{x\in\mathbf{F}_p} \left(\frac{x^3+Ax}{p}\right) = \begin{cases} 0, \quad p\equiv3\pmod{4},\\ \pm 2a, \quad p\equiv1\pmod{4},\quad \left(\frac{A}{p}\right)=1,\\ \pm 4b, \quad p\equiv1\pmod{4},\quad \left(\frac{A}{p}\right)=-1, \end{cases} \] ここで$a, \, b$は$p=a^2+(2b)^2$で定まる整数．

証明だが，$p\equiv3\pmod{4}$なら$\phi(A)=0$は昨日示したとおりである．以下$p\equiv1\pmod{4}$とする．このとき$\phi(A)$は偶数になる（$x$と$-x$でsummandが等しいから）．

さて，$r\equiv0\pmod{p}$として，$\phi(A)$で$x$を$rx$に置き換えると，$\phi(r^2A) = (r/p)\phi(A)$が分かる．よって，$A$の，$\mathbf{F}_p^\times/\mathbf{F}_p^{\times 2}$での類に応じて，$\phi(A)$の値を$\pm 2\alpha$（$A$が$4$乗剰余なら正，そうでないなら負号）, $\pm 2\beta$（$A$の指数が$4$で割って$1$なら正，$4$で割って$3$なら負号）と置くことが出来る）．

次の和を考える： \[ \sum_{A\in\mathbf{F}_p} \phi(A)^2 \] これは前段の考察からまず， \[ \sum_{A\in\mathbf{F}_p} \phi(A)^2 = 4(p-1)(\alpha^2 + \beta^2). \] 一方，$\phi(A)$の定義を代入して展開すると \begin{eqnarray*} \sum_{A\in\mathbf{F}_p} \phi(A)^2 &=& \sum_{x,y\in\mathbf{F}_p} \left(\frac{xy}{p}\right) \sum_{A\in\mathbf{F}_p}\left(\frac{(x^2+A)(y^2+A)}{p}\right)\\ &=& \sum_{x,y\in\mathbf{F}_p} \left(\frac{xy}{p}\right) (-1 + p\delta_{x^2,y^2}) = 4p(p-1). \end{eqnarray*} よって \[ p = \alpha^2 + \beta^2. \] また，$\alpha$が奇数で，$\beta$が偶数であることも比較的容易に分かり，主張が従う．

詳細は，昨日もリンクしたJacobsthalの学位論文（1906年）の13頁付近か，D. Zagier, Elliptic Modular Forms and Their Appliation, in The 1-2-3 of Modular Forms: Lectures at a Summer School in Nordfjordeid, Norway (Universitext)の命題29を見て頂きたい．

Jacobsthal和は定義から明らかに，$y^2=x^3+Ax$で定義される，$\mathbf{F}_p$上の楕円曲線の$\mathbf{F}_p$有理点の個数と関係している．そのあたりにもいずれ触れたい．