昨日導入したJacobi和を使うと，$1$で割って$4$余る素数$p$を$p=a^2+b^2$, $a$は奇数，と書いたとき， \[ 2a \equiv (-1)^m\binom{2m}{m}\pmod{p},\quad m := \frac{p-1}{4}, \] となることを示すことが出来る．
まず上の記号で$\pi=a+b\sqrt{-1}$とし，指標$\chi=\chi_\pi$を$\chi_\pi(\alpha)=\alpha^{(p-1)/4}\pmod{\pi}$, $\alpha\in\mathbf{Z}[\sqrt{-1}]$, で定まるものとする．また$J(r,s)=J(\chi^r, \chi^s)$とする．このときJacobi和の定義と基本的な性質から次がなり立つことが分かる． \[ J(3,2) = \chi(-1)J(3,3) = \chi(-1)\overline{J(1,1)}=\overline{\pi}. \] 一方， \begin{align*} J(3,2) &\equiv \sum_{t=0}^{p-1}t^{3m}(1-t)^{2m} \equiv \sum_{t=0}^{p-1} \sum_{j=0}^{m} (-1)^j \binom{2m}{j}t^{2m-j}\\ & = \sum_{j=0}^m(-1)^j\binom{2m}{j}\sum_{t=0}^{p-1}t^{5m-j}\pmod{\pi}. \end{align*} 最後の$t$についての和は，よく知られているように$j=m$の時だけ消えずその値 は$1\pmod{p}$である．よって \[ J(3,2) \equiv (-1)^m \binom{2m}{m}\pmod{\pi}. \] まとめると， \[ 2a = \pi+\overline{\pi}\equiv\overline{\pi} = J(3,2) \equiv(-1)^m \binom{2m}{m}\pmod{\pi}. \] これは$\pi$を法とする合同式だが，両辺が有理整数だから$p$を法として成立する．
例えば$p=13$とすると$m=3$であり， \[ (-1)^3 \binom{6}{3} = -\frac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 1}=-20\equiv 6 \pmod{13}. \] すると，$6/2=3$は確かに，$3^2+2^2=13$を与える．
昨日のIreland-Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory (Graduate Texts in Mathematics)
素数$p\equiv1\pmod{4}$が与えられたとき$p=a^2+b^2$を具体的に求める，と言う問題については，来週からご紹介していこうと思う．
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