2012年4月20日金曜日

Gauss和とJacobi和:mod 4で1の素数は2平方数の和

今日はGauss和とJacobi和を使った証明をご紹介します.

まず指標.$p$を素数として,$p$元体$\mathbf{F}_p$の乗法群$\mathbf{F}_p^\times$から複素数の乗法群$\mathbf{C}^\times$への凖同型$\chi:\mathbf{F}_p^\times\to\mathbf{C}^\times$を法$p$の指標という.値は, 原始的とは限らない$1$の$p-1$乗根になる.例えば$\iota:\mathbf{F}_p^{\times}\ni t\mapsto 1\in \{1\}$は自明な指標, また法$p$の原始根$g$を$\exp(2\pi\sqrt{-1}/(p-1))$に対応させる写像から,位数が$p-1$の指標が定まる.法$p$の指標たちは値の積で群になり,これは$\mathbf{F}_p^\times$と同型になる.

法$p$の指標$\chi$と$a\in\mathbf{F}_p$に対して \[ g_a(\chi):= \sum_{t\in\mathbf{F}_p}\chi(t)\zeta^t,\quad \zeta=\exp\left(\frac{2\pi\sqrt{-1}}{p}\right) \] とおいて,これを$\chi$のGauss和という.簡単な計算で,$a\neq 0$,$\chi\neq \iota$なら$g_a(\chi)=\chi(a^{-1})g_1(\chi)$が分かる.以下$g_1(\chi)$を単に$g(\chi)$と書くことにする.重要な結果として,Gauss和の複素数としての絶対値を求めることができる: \[ |g(\chi)| = \sqrt{p},\quad(\chi\neq\iota). \]

次にJacobi和を導入する.$\chi$, $\lambda$を法$p$の指標として \[ J(\chi,\lambda) := \sum_{a+b=1}\chi(a)\lambda(b), \] をJacobi和という.Gauss和との関係は$\chi\lambda\neq\iota$なら \[ J(\chi,\lambda) = \frac{g(\chi)g(\lambda)}{g(\chi\lambda)}. \] すると,この二つから,Jacobi和の複素数としての絶対値が計算できる. \[ |J(\chi,\lambda)| = \sqrt{p}.\tag{*} \]

さて,素数$p\equiv1\pmod{4}$について$\chi$を法$p$の位数$4$の指標とする(指標群が位数$p-1$の巡回群だから,位数$4$の元が存在する.この指標は,$a\in\mathbf{F}_p$が$4$乗であるときに$1$になる,$4$乗剰余記号である).すると$\chi$の値は$\{\pm1, \pm\sqrt{-1}\}$である.よって$J(\chi,\chi)$の値はGauss整数環$\mathbf{Z}[\sqrt{-1}]$の元.また,$\chi^2\neq\iota$なので,上の$(*)$式からただちに \[ p = |J(\chi,\chi)|^2 = a^2 + b^2, \quad(a,\, b\in\mathbf{Z}). \]

例えば$p=5$なら$g=2$に取れて,位数$4$の指標$\chi$は$g$を$\sqrt{-1}$に対応させるものである.$\chi(3)=-\sqrt{-1}$, $\chi(4)=-1$などからJacobi和を計算すると,$J(\chi,\chi)=1-2\sqrt{-1}$となり,よって$5=1^2+2^2$である.

以上については,Ireland-Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory (Graduate Texts in Mathematics)の8章をご覧頂きたい.

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