木曜日は講義二つ・金沢へ

木曜午前は，3年生向けの代数学の講義がある．昨年同様，中島匠一先生の「代数と数論の基礎 (共立講座21世紀の数学)」をテキストに，2章の「環と体」から始めた．ペース配分を考えながら着々と進めたいところ．

昼休みを挟んで，午後一に2年生向け線形代数学の続き．続き，というのは，月曜日の続きであり，つまり週に2回90分の講義がある（ので，半期で30回なのだ）．Jordan標準形に向けて，体上の多項式の話を始めた．

線形代数学のコースがどんなものであるべきか，折々に考える．体上の加群と，それらの間の準同型写像の理論だというのが，狭義の線形代数学としよう．体上の加群は自由加群であること，依って線形写像は生成元（基底）の行き先で決まること（行列表示）が根本であろう．これらは多くの教科書で強調されるが，線形空間の双対性（双対空間の双対空間が，元の空間と自然に同型であること）はあまり触れられないようだ．

特定の体に依存する話はそれに続く各論と言うことになる．理論的・演繹的にどのように主題を並べるか，と言うことと，実際に講義する場合とで，何らかの違いが生じるか否か．数ベクトル空間や，行列の操作（基本変形や掃き出し法など）にどの程度の時間，ページ数を割くべきだろうか．

また，特に実数体，複素数体上の線形代数学は，コンピュータの上で具体的に計算することが広く行われている．厳密に計算できることもあれば，近似計算をする場合もある．伝統的な線形代数学のコースでは，こういった話題はあまり触れられない（掃き出し法やクラメールの公式などは使い処が限定される）．云々．

夕方からは，金沢でのセミナへ向かう．まごまごしている間に，雨模様も手伝って高速バスを乗り逃がした．列車で移動し，15分ほど遅参．参加者の集まりが悪く，開始が遅れたので，冒頭から聴講できた．

類数が1の代数体は無数にあるか，と言う問題は，やや意外なことに未解決である．実2次体の中には類数が1であるものが無数にある，というのはGaussによる予想で，未解決である．これをずっと弱めて，奇素数を一つ固定して，この奇素数で類数が割りきれない実2次体は無数にあるか，あるとしたらどのくらいの密度であるか，と言う問題は，私が長く興味を持っている問題である．

一方，Weberに依るという，すべての2冪分体の最大実部分体の類数が1であろうというのも未解決だが，近年国内で進展があった．今回はこの問題に関する気鋭の研究者による講演だった．大変興味深く聴講した．

後期の講義；線形代数学II

後期の講義は，線形代数学II（2年生向け）と，代数学II（3年生向け）．前者は週2回，月曜と木曜であり，後者も木曜である．木曜は隔週で金沢でのセミナがあり，やや忙しい．金曜にも不定期で講義がある（オムニバス形式なのだ）．

線形代数学の講義は，前期を担当した同僚から引き継いだところ，正規行列が対角化可能であるとか，複素数体上の線形作用素のスペクトル理論とか，ほぼ一通り終わっているとのことだった．Jordan標準形から始めればいいのだが，教科書では証明が省かれており，しかも30回も講義回数があるとなると，時間余るように思われる．

なので，単因子論の前振りとして，整数行列のSmith標準形から話を始める．そのために，整数のEuclid性などから説き起こした．今日までの3回でSmith標準形が一段落．

応用として，有限（生成）Abel群の構造定理などを解説するのが定番だろうが，2年生向けと言うことで割愛．有限Abel群の当たり前でない（1の冪根の群など，巡回群でない）例で，2年生にも手短に説明できるものが思いつかなかった．2元2次形式の同値類を合成によって群と思ったものとか……？

種本は，木村達雄先生他の「代数の魅力」．