よろしいですか？
まず，$n$ 番目のメルセンヌ数 $M_n$ というのは，$2^n-1$ のことである（$n\ge 1$）．すぐに巨大になるが，素数に関連した興味深い性質がいくつもある．例えば，$M_n$ が素数ならば $n$ が素数であることが証明できる．しかし $n$ が素数だからといって，いつでも $M_n$ が素数になるわけではない．例えば$M_{11} = 2^{11} - 1 = 23\times 89$. しかし，$n$ が素数なら，$M_n$ は $n$ より大きい素因数を含むことも簡単に示され，従って大きな素数の探索にしばしば用いられる．
歴史を遡ると，メルセンヌ自身が17世紀に，$M_n$ が素数になる $n$ を小さい方から幾つか列挙したのだが，それが間違いを含んでいた．例えば彼は，$M_{67}$ は素数であるとしていた．
冒頭のブログ記事では，20世紀初頭にColeが学会で発表するまでそれが信じられていた，という調子で劇的な様子を記述しているが，それはそうではない．
リュカは既に，1891年出版の著書で，$M_{67}$が合成数であろう，と述べている(E. Lucas, Theorie des Nombres, p. 376)．
しかし，その素因数分解は与えていない．
Coleは，$M_{67}$ の素因数分解，すなわち，$$M_{67} = 147573952589676412927 = 193707721 1 \times 761838257287$$を，論文 The factoring of large numbers, Bulletin of the American Mathematical Society, 10(3), 1903で与えた．冒頭のブログ記事は，その内容を講演したときのエピソードと思われる．
Coleは2つの方法を試し，一つはうまくいかず，もう一つの方で $M_{67}$ の素因数分解を得ている．つまり，$$M_{67} = \left(\frac{1}{2}(u+v)\right)^2 - \left(\frac{1}{2}(u-v)\right)^2$$と書いたときに，$(u+v)/2$の方が満たすべき合同式を，法 $67^2 \times 8 \times 5 \times 7 \times 13 \times 81$ で与えて，$$\frac{1}{2}(u+v) = 1323536760 x + 1160932384,$$ （$x$の係数が上で述べた法，）そこに適当に整数を入れていって，$x = 287$ のとき，つまり $381015982504$ が $$M_{67} = 2^{67}-1 = 381015982504^2 - 380822274783^2 = 193707721 \times 761838257287$$を満たすことから，素因数分解を得ている．
2次篩法などが開発されるのは，1980年代である．
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