2元2次形式の理論を用いたLagrangeの証明を，Gaussが整理したもので，ガウス 整数論 (数学史叢書)
整係数2元2次形式とは，整数係数の2変数2次式の事で，$f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2$, $a,\, b,\,c\in\mathbf{Z}$, とする．$f(x,y)$の判別式$D(f)$を$b^2-4ac$と定義する．係数$a,\,b,\,c$の最大公約数が$1$のとき，$f$は原始的という．また，$f$が簡約2次形式とは，係数が次の条件を満たす時を言うこととする： \[ |b| \le a \le c, \] 更に，一方の等号のみが成立する際は$b\le 0$とする．
整数を成分とする$2$次の行列で行列式が$1$のものの全体を$SL_2(\mathbf{Z})$と書く． ふたつの整係数2元2次形式$f(x,y)$, $g(x,y)$が同値とは， \[ \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} \quad A \in SL_2(\mathbf{Z}) \] の変数変換で$f(x',y')=g(x,y)$となることとする． 同値な2次形式の判別式は等しい（ことが計算で確認できる）ので， 指定された判別式を持つ原始的整係数2元2次形式を，この同値関係で類別して考えることが出来る．
以下では$a>0$かつ$D(f)<0$なる2次形式のみ考える．このときには，上の同値類のそれぞれに，ただ一つ簡約2次形式が存在することが分かる．
さて，整数$N$が2次形式$f(x,y)$で表されるとは，ある整数$t,u$が存在して， \[ N = f(t,u) \] となることとする．$f$が$N$を表現するなら，$f$と同値な2次形式も$N$を表現 することに注意する．
我々が考えていた問題は，素数$p\equiv1\pmod{4}$が，判別式$-4$の原始的2次 形式$f(x,y)=x^2+y^2$で表される，ということである．さて$p\equiv1\pmod{4}$ より，$1+m^2$が$p$で割り切れるような整数$m$が存在するのだった．すると， \[ g(x,y) = px^2 + 2mxy + \frac{m^2+1}{p}y^2 \tag{*} \] は，やはり判別式$-4$の原始的2次形式である．しかも， \[ p = g(1,0) \] と，$g$は$p$を表現する．
さて，Lagrangeにより，判別式$-4$の2次形式はいずれも同値である事が示されている！ したがって，$f(x,y)= x^2+y^2$も$p$を表現する．
（現代風に言えば，虚2次体$\mathbf{Q}(\sqrt{-1})$の類数は$1$なので，$(*)$ 式の2次形式は$x^2+y^2$と同値になり，よって$p=x^2+y^2$と表される，と言う ことである．）
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